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¿Crees que has pasado el coronavirus porque tuviste síntomas hace tiempo?

  • Muchas personas han tenidos fiebre, tos, cansancio, falta de aire… y están convencidas de que han pasado la enfermedad, pero sólo el 13,28%, aproximadamente 1 de cada 7, la han pasado realmente
  • El teorema de Bayes nos permite saber cuál es la probabilidad de que hayamos pasado la Covi-19 si hemos tenido los síntomas

09 febrero, 2021

Eduardo Costas. Catedrático de Genética de la UCM. ACADÉMICO CORRESPONDIENTE DE LA REAL ACADEMIA NACIONAL DE FARMACIA

Estamos asistiendo a un hecho peculiar. Mucha gente cree que ya ha pasado la Covid-19.

Sorprendentemente, muchos de los que creen eso no se han hecho test alguno que avale su creencia. Su convicción se basa solamente en que durante el último año en algún momento han tenido fiebre, tos, cansancio, dolor de cabeza, pérdida de olfato o sensación de falta de aire. Gracias a esto piensan que ya han tenido la Covid-19. Y seguros de haberse contagiado del coronavirus, y de haberlo superado, se enfrentan a la tentación de relajar la prudencia porque… como ya están inmunizados.

Pero ¿Cuántas de las personas que han tenido síntomas compatibles con la Covid-19 han pasado realmente la enfermedad?

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Aunque no lo parece, se trata de un problema complejo. Por una parte hay pacientes asintomáticos que enferman de Covid-19 pero no sufren sus síntomas. Por otra todos nosotros, en algún momento de la vida, hemos tenido varios de los síntomas que son similares a los que suelen aparecer con la Covid-19.

Sin embargo, Thomas Bayes, un piadoso, brillante y rebelde ministro presbiteriano que vivió en Inglaterra entre 1702 y 1761, acertó con la fórmula. Al reverendo Bayes le preocupaba que la probabilidad, y no la certeza, parecían gobernar el mundo. Era como si a Dios le gustase jugar a los dados con su Creación.

Durante muchos años el reverendo Bayes se enfrascó en un arduo trabajo para averiguar las reglas del juego divino. Tuvo éxito. En 1742 fue elegido miembro de la Royal Society por sus brillantes aportaciones a la inferencia estadística. Su obra más importante, «Ensayo para resolver un problema en la doctrina de las oportunidades» contiene su célebre «Teorema de Bayes», una de las ideas más relevantes de la humanidad.

El teorema de Bayes tiene una gran influencia en múltiples aspectos de nuestra vida cotidiana.

  • Por ejemplo, los que ya llevamos muchos años usando internet pudimos observar que ahora los spam dan mucha menos lata que antes. Se lo debemos al teorema de Bayes que resultó ser la mejor forma de estimar cuántos de los mensajes que recibimos de desconocidos son «basura».
  •  También cuando tomamos un fármaco, el reverendo Bayes tiene mucho que decir, pues los análisis de los ensayos clínicos que realizan las agencias reguladoras de los medicamentos (incluyendo los actuales ensayos de las vacunas contra la Covid-19), emplean su teorema.
  • Incluso algunos periódicos importantes estiman la tirada que debe imprimirse cada día empleando estadística Bayesiana.

El teorema de Bayes nos permite saber cuál es la probabilidad de que si hemos tenido los síntomas de la Covid-19 hayamos pasado la enfermedad.

La clave está en calcular cuál es la probabilidad de que una persona tenga los síntomas (fiebre, tos, cansancio, falta de aire, pérdida de olfato…) debido a que realmente tiene la Covid-19. Puede tener esos síntomas por otras muchas causas. Y esta probabilidad no es la misma que la de que una persona tenga la Covid-19 debido a que tiene los síntomas.

Vamos a explicar con detalle cómo hemos aplicado el Teorema de Bayes para alcanzar la cifra final, pero como es algo que quizás sólo entiendan los aficionados por las matemáticas, lo vamos a dejar para el final.

Ahora nos centraremos en una descripción muy sencilla para que todos podamos entender la manera de proceder.

Y comenzaremos diciendo que hemos agrupado todas las posibilidades siguiendo este cuadro. Los que sí han tenido o no han tenido síntomas, y los que sí han tenido o no la Covid-19.

Así x son las personas que tienen a la vez síntomas y Covid-19; y son las personas que tienen síntomas pero no tienen Covid-19; p son las personas que tienen Covid-19 pero no tienen síntomas (los famosos asintomáticos); q son las personas que no tienen Covid-19 ni tampoco síntomas.

Luego llamaremos N al total de las personas (así que N = x+y+p+q), y a partir de ahí comenzaremos a aplicar el teorema tal y como explicamos al final.

La manera de poner una cifra a estas letras la explicamos en la parte más matemática y es diferente en cada caso. Pero siempre utilizamos los datos científicos más aproximados posible en estos momentos.

Así, por ejemplo, la probabilidad de haber tenido la Covid-19 sale del «Estudio Nacional de sero-epidemiología del 15 de diciembre», que calculaba en el 9,9% la cifra de personas que se habían infectado. Y de esa cifra estimamos que ahora mismo sería un 12%

Y tras aplicar el teorema nos encontramos con que de todas esas personas que han tenidos síntomas de fiebre, tos, cansancio, falta de aire, pérdida de olfato… y que están convencidas de que han pasado el coronavirus, sólo 1 de cada 7, más exactamente el 13,28%, han pasado realmente la Covid-19.

Esto debería hacernos extremar la prudencia. Por muchos síntomas de Covid-19 que hayamos tenido durante la pandemia, lo más probable es que todavía no hayamos pasado la enfermedad y por tanto no seamos inmunes. Tenemos que seguir extremando las precauciones hasta que estemos inmunizados.

A fin de cuentas, no hay destino más trágico que convertirse en el último muerto de una guerra.

La explicación matemática

A quienes le gustan las matemáticas, lo que viene a continuación les parecerá trivial. Pido disculpas.

A quienes no les gustan tanto, pero quieren intentar entenderlo, pueden tomarse lo que sigue como un reto intelectual. Un reto que pueden superar con un poco de calma, quizás no demasiado esfuerzo, y que en cualquier caso les ayudará a comprender mucho mejor cómo funciona el mundo y a acertar en sus decisiones.

Lo primero que necesitamos es explicar con la máxima precisión los distintos sucesos implicados:

  • Al suceso «tener Covid-19» lo llamaremos C.
  • La probabilidad de que una persona tenga la Covid-19 será p(C).
  • Al suceso «tener síntomas» (fiebre, tos, cansancio…) lo llamaremos S.
  • La probabilidad de que una persona tenga síntomas será p(S).

Respecto a los no afectados, tener Covid-19 altera la probabilidad de tener síntomas (la aumenta). Análogamente, tener síntomas altera la probabilidad de tener Covid-19 (también la aumenta).

Llamaremos prob (C | S) a la probabilidad de que una persona tenga la Covid-19 dado que tiene los síntomas. Llamaremos prob (S | C) a la probabilidad de que una persona tenga los síntomas dado que tiene la Covid-19.

Lo segundo es representar todos los casos posibles que pueden darse en nuestro problema, lo que como ya ha visto más arriba, hacemos en la siguiente tabla:

  • Así x son las personas que tienen a la vez síntomas y Covid-19;
  • y son las personas que tienen síntomas pero no tienen Covid-19;
  • p son las personas que tienen Covid-19 pero no tienen síntomas (los famosos asintomáticos);
  • q son las personas que no tienen Covid-19 ni tampoco síntomas.

Llamaremos N al total de las personas (así que N = x+y+p+q).

Lo tercero es calcular probabilidades. Por ejemplo, la probabilidad de que alguien tenga Covid-19 y tenga síntomas es x/N (esto es, x dividido entre N), mientras que la probabilidad de que alguien no tenga la Covid-19 y sí tenga síntomas es y/N (esto es y dividido entre N).

Así podemos calcular que la probabilidad de que alguien tenga la Covid-19 es:
prob (C) = (x+p)/N

También calculamos que la probabilidad de que alguien tenga síntomas es:
prob (S) = (x+y)/N

Lo siguiente que necesitamos es calcular las probabilidades condicionales.

Así la probabilidad de que alguien tenga síntomas dado que tiene la Covid-19 es:
prob (S | C) = x / (x+y).

Hasta aquí cualquiera puede hacerlo. Pero el reverendo Bayes era un genio. Pensando que la probabilidad de que alguien tenga la Covid-19 y síntomas es:

se le ocurrió que la probabilidad de tener síntomas y Covid-19 podía calcularse también como una probabilidad condicional y su inversa:

x / N = prob (C | S) . prob (S)

x / N = prob (S | C) . prob (C)

e igualando ambas ecuaciones obtuvo su famoso teorema:

prob (C | S) = prob (S | C) . prob (C) / prob (S)

Ahora solo nos falta dar valores a la fórmula:

Calculamos la probabilidad de haber tenido la Covid-19. Según los resultados del «Estudio Nacional de sero-epidemiología de la infección por SARS-COV-2 en España» del Ministerio de Sanidad, el 15 de diciembre de 2020 se habían infectado el 9.9% de los españoles. Ahora estimamos que aproximadamente debe haber un 12% de infectados.

Así prob (C) = 0,12

Aunque no hay un dato tan preciso sobre la probabilidad de haber tenido síntomas (fiebre, tos, cansancio, falta de aire, pérdida de olfato…) durante la pandemia, diversas fuentes médicas la estiman en alrededor de un 75%. Durante esta larga pandemia casi todos hemos tenido en alguna ocasión alguno de los síntomas de la Covid-19.

Así prob (S) = 0,75

Por último un meta-análisis muy completo estima que el 17% las personas que tienen Covid-19 nunca padecen síntoma alguno. Por tanto el 83% de las personas que tiene Covid-19 padecen sus síntomas (fiebre, tos, cansancio, falta de aire, pérdida de olfato…)

Así prob (S | C) = 0,83

Aplicando el Teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de tener la Covid-19 dado que hemos padecido síntomas compatibles con la enfermedad.

Así prob (C | S) = prob (S | C) . prob (C) / prob (S) = 0,83 . 0,12 / 0,75 = 0,1328

Luego sólo el 13,28% de las muchas personas que están convencidas de que han pasado el coronavirus, han pasado realmente la Covid-19.

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